압력용기의 길이와 직경 변형 계산 예제
예제 개요
어느 원통형 압력용기가 다음 조건을 가진다고 가정하자:
- 내부 압력: 2 MPa
- 내부 지름: 3 m (3000 mm)
- 벽 두께: 5 mm
- 길이: 10 m (10000 mm)
- 재료: 강철 (탄성계수 E = 200,000 MPa, 뽀아송비 ν = 0.3)
이때 내부 압력에 의해 길이와 지름이 얼마나 늘어나는지 계산해본다.
응력 계산
얇은 원통일 경우, 압력에 의한 응력은 다음과 같이 계산된다:
Hoop stress (둘레방향): σθ = (P × r) / t = (2 × 1500) / 5 = 600 MPa
Longitudinal stress (축방향): σz = (P × r) / (2t) = (2 × 1500) / 10 = 300 MPa
여기서 r은 반지름 = 3000 / 2 = 1500 mm
변형률 계산
응력을 바탕으로 변형률(얼마나 늘어났는지 비율)을 계산:
원주 방향 변형률 (εθ):
εθ = (1 / E) × (σθ - νσz)
= (1 / 200000) × (600 - 0.3 × 300)
= 0.00255
축 방향 변형률 (εz):
εz = (1 / E) × (σz - νσθ)
= (1 / 200000) × (300 - 0.3 × 600)
= 0.0006
이제 실제 변형된 길이와 지름을 구할 수 있다.
최종 결과 요약
변형된 양은 다음과 같다:
| 항목 | 원래 크기 | 변형량 | 최종 크기 |
|---|---|---|---|
| 지름 (D) | 3000 mm | +7.65 mm | 3007.65 mm |
| 길이 (L) | 10000 mm | +6 mm | 10006 mm |
즉, 압력이 채워졌을 때 원통은 지름과 길이가 아주 조금씩 늘어난다.