압력 용기의 균열, 얼마나 길어지면 위험할까?
📘 해석 및 개념 설명
💡 핵심 주제
압력 용기의 벽 두께 t와 균열 반길이 c의 관계를 통해 파괴 조건을 예측하는 문제이다.
- σ_t: 압력 용기의 원주 방향 인장 응력 (또는 최대 인장 응력)
- K_IC: 재료의 파괴 인성
- c_c: 파괴가 일어나는 임계 균열 반길이
🧩 그림 설명
(a) 그림 – 원형 균열의 진전 (크랙 팁 모델)
- 중심에서 균열이 방사형으로 확산되고 있음
- a: 균열 깊이
- 2c: 균열의 전체 길이
- t: 압력 용기의 두께
균열이 커질수록 주변 응력장도 같이 퍼짐을 시각적으로 표현함.
(b) 그림 – 관통 균열 조건
- 균열의 길이 2c_c가 두께 2t보다 크거나 같으면 관통됨
즉, 다음 조건에서 파괴 가능성 있음:
2cc≥2t⇨cc≥t2c_c ≥ 2t ⇨ c_c ≥ t
이 조건을 기준으로 취성 파괴 가능 여부를 판단할 수 있다.
(c) 그림 – 실제 압력 용기 단면
- 내부에 반타원형 내부 균열 존재 (2c)
- 원주 방향과 축 방향 응력 작용
- σ_t 또는 σ_x로 표현
이 그림은 실제 설계자가 어느 위치에 응력 집중이 일어날지를 고려해야 함을 의미한다.
1. 균열과 파괴 인성의 관계
압력 용기와 같은 구조물에서 취성 파괴는 예고 없이 발생할 수 있다. 특히 내부에 균열이 존재할 경우, 그 길이에 따라 구조물은 파괴 임계 조건에 도달할 수 있다. 이때 응력확대계수 K가 파괴인성 KIC를 초과하면 파괴가 일어난다.
K = F · S · √(πa)위 식에서 F는 형상 계수이며 보통 1로 가정된다.
이 식을 변형하면, 파괴가 일어나는 임계 균열 반길이 cc는 다음과 같이 계산된다.
c_c = (1/π) · (K_IC / σ_t)^22. 균열이 벽을 뚫지 않게 하려면?
구조물 설계자는 균열이 압력 용기의 벽 두께 t보다 크지 않도록 해야 한다. 균열의 길이가 두께보다 작으면 파괴를 피할 수 있다. 반대로 균열 길이가 다음 조건을 만족하면 파괴 위험이 있다:
c_c ≥ t3. 그림으로 이해하는 파괴 조건
아래 그림은 균열이 재료 내에서 퍼지는 과정과 그 임계 조건을 시각화한 것이다.
- (a) 내부 균열이 확대되며 응력장 확산
- (b) 균열 길이 2c가 벽 두께 2t보다 클 경우 관통 → 파괴 가능
- (c) 압력 용기 내부의 반타원형 크랙, 외부로부터의 응력 집중
4. 결론 – 균열 길이와 두께의 비교가 핵심
압력 용기의 설계 시, 단순히 재료의 강도만 고려해서는 안 된다. 균열이 존재할 가능성을 전제로, 균열이 벽을 관통하지 않도록 적절한 두께 설계가 필요하다. 균열 길이 cc가 재료 두께 t보다 작을 때만 구조물은 안전하다고 판단할 수 있다.
5. 예시 계산
만약 파괴 인성 KIC가 24 MPa·√m, 작용 응력 σt가 100 MPa라면:
c_c = (1 / π) · (24 / 100)^2 = (1 / π) · 0.0576 ≈ 0.0183 m ≈ 18.3 mm벽 두께 t가 20 mm일 경우 → 안전 벽 두께 t가 15 mm일 경우 → 관통 위험
